Philosophie Antique 10 (2010)

David Rabouin et Bernard Vitrac. Sur le passage mathématique de l’Epinomis (990c-992 A) : signification et postérité

- Résumé. Dans cet article, nous analysons le passage dit « mathématique » de l’Épinomis. Dans le programme de formation proposé pour les futurs membres du conseil vespéral de vigilance (990c5-991b4), certains interprètes modernes ont cru voir un témoignage capital pour l’histoire des mathématiques grecques anciennes portant sur la question de l’irrationalité. L’analyse du lexique et du mode de composition du texte – un collage maladroit d’expressions reprises aux loci mathematici platoniciens –, la confrontation avec la littérature mathématique conservée et ce que l’on sait de l’histoire de cette discipline avant Euclide montrent que cette interprétation, pourtant largement répandue, est sans fondement. En revanche, il est possible de reconstituer une intention philosophique compréhensible et mieux à même de rendre compte de certaines particularités du passage en consultant les commentateurs anciens (Nicomaque de Gérase, Théon de Smyrne, Jamblique de Chalcis, Proclus de Lycie). En privilégiant le passage conclusif sur le « lien » des mathématiques (991d8-992a1), ils identifiaient une tout autre question : celle de l’unité des mathématiques, à partir de laquelle le passage mathématique prenait à leurs yeux tout son sens.

Summary. This paper focuses on the so-called “mathematical passage” of the pseudo-Platonic Epinomis. According to some modern scholars, the program proposed for the training of future members of the Nocturnal Council (990c5-991b4) provides crucial testimony of the question surrounding irrationality in ancient Greek mathematics. This commonly held view is shown to be groundless through various means : an analysis of the vocabulary and composition of the text (a clumsy patchwork of expressions taken from Platonic loci mathematici) ; a comparison with the extant mathematical literature and finally a confrontation with the known history of pre-Euclidean mathematics. On the other hand, an examination of ancient commentators (Nicomachus of Gerasa, Theo of Smyrna, Iamblichus of Chalcis, Proclus of Lycia), allows the reconstruction of a possible philosophical intention of the text, thus rendering the passage intelligible. By emphasizing the conclusion of the passage, which deals with the « bond » of mathematics (991d8-992a1), ancient commentators raised an entirely different question than their modern counterparts : that of the unity of mathematics, which according to the ancients gave the « mathematical passage » its overall significance.

Thomas Bénatouïl et Dimitri El Murr. L’Académie et les géomètres : usages et limites de la géométrie de Platon à Carnéade

Résumé. L’article met en lumière la continuité intellectuelle de l’Académie à propos d’une question précise, les rapports entre philosophie et géométrie. On soutient d’abord que, dans les livres VI-VII de la République, Platon ne cherche pas à réformer les pratiques des géomètres mais identifie les contraintes incontournables de leurs raisonnements (constructions, hypothèses), qui constituent et limitent leur objectivité. On montre ensuite que cette analyse constitue le cadre des réflexions académiciennes ultérieures sur la géométrie. Speusippe reprend et développe l’analyse platonicienne des constructions géométriques, qui est appliquée (de Speusippe à Crantor) à la cosmologie et même à la doctrine des principes, afin d’expliquer comment elles saisissent leurs objets éternels depuis le devenir, de manière indirecte. Si la Nouvelle Académie d’Arcésilas et de Carnéade critique les mathématiques, on fait l’hypothèse qu’il s’agissait pour elle – dans le contexte des débats philosophiques hellénistiques sur les usages des mathématiques –, de rappeler les limites de leur objectivité contre toute idéalisation dogmatique de la méthode géométrique.

Summary. This paper traces the intellectual continuity existing in the analysis of geometry from Plato to the end of the Academy. It is first argued that, in books 6-7 of the Republic, Plato does not advocate a reform of contemporary geometrical practices, but specifies the inescapable constraints of geometrical reasoning (constructions, hypotheses), which constitute and limit its objectivity. This analysis is then shown to be the framework of later Academic thoughts about geometry. Speusippus adopts and develops Plato’s thoughts on geometrical construction, which are applied (from Speusippus to Crantor) to cosmology and the theory of first principles, in order to explain how they can grasp eternal objects in a indirect manner, starting from the world of becoming. The paper then locates the criticism of mathematics offered by the New Academy of Arcesilaus and Carneades in the broader context of hellenistic philosophical debates about the uses of mathematics, and interprets it as a reminder of the limits of mathematical objectivity against the dogmatic uses of geometry as a universal model of reasoning.

Salomon Ofman. Une nouvelle démonstration de l’irrationalité de racine carrée de 2 d’après les Analytiques d’Aristote

Résumé. Pour rendre compte de la première démonstration d’existence d’une grandeur irrationnelle, les historiens des sciences et les commentateurs d’Aristote se réfèrent aux textes sur l’incommensurabilité de la diagonale qui se trouvent dans les Premiers Analytiques, les plus anciens sur la question. Les preuves usuelles proposées dérivent d’un même modèle qui se trouve à la fin du livre X des Éléments d’Euclide. Le problème est que ses conclusions, passant par la représentation des fractions comme rapport de deux entiers premiers entre eux, i.e. la proposition VII.22 des Éléments, ne correspondent pas aux écrits aristotéliciens. Dans cet article, nous proposons une nouvelle démonstration, conforme aux textes des Analytiques, fondés sur des résultats très anciens de la théorie du pair et de l’impair. Ne passant pas par la proposition VII.22, ni par aucune autre propriété établie par l’absurde, cette irrationalité apparaît comme le premier résultat que l’on ne pouvait établir par une autre méthode. L’importance de ce résultat, révélant un nouveau domaine mathématique, celui des grandeurs irrationnelles, rend compte de la centralité que cette forme de raisonnement acquiert alors, d’abord en mathématique, puis dans tout type de discours rationnel. À partir des conséquences qui suivent de cette nouvelle démonstration, on peut interpréter très simplement la leçon sur les irrationnels du passage mathématique figurant dans le Théétète de Platon (147d-148b), ce que nous ferons dans un article à paraître dans un prochain numéro.

Summary. To account for the first proof of existence of an irrational magnitude, historians of science as well as commentators of Aristotle refer to the texts on the incommensurability of the diagonal in Prior Analytics, since they are the most ancient on the subject. The usual proofs suggested by the historians of science derive from a proposition found at the end of Book X of Euclid’s Elements. But its conclusions, using the representation of fractions as a ratio of two integers relatively prime i.e. the proposition VII.22 of the Elements, do not match the Aristotelian texts. In this article, we propose a new demonstration conformed to these texts. They are based on very old results of the odd/even theory. Since they use neither the proposition VII.22, nor any other result proved by a reductio ad absurdum, it seems to be the first result which was impossible to prove in another way. The significance of this result, revealing a complete new territory in Mathematics, the field of irrational magnitudes, accounts for the centrality gained afterwards by this kind of reasoning, firstly in Mathematics, then in all forms of rational discourse. From the consequences of this new proof, we can construe very simply the lecture on the irrationals in the mathematical text in Plato’s Theaetetus (147d-148b). It will be done in an article to appear in a forthcoming issue.

Julie Giovacchini. L’angle et l’atome dans la physique épicurienne. Réflexions sur un témoignage de Sextus Empiricus

Résumé. A partir de l’analyse d’un passage du Contre les géomètres de Sextus Empiricus, cet article tente d’évaluer la signification réelle ainsi que les conséquences épistémiques de la destruction épicurienne des objets de la géométrie. L’existence du clinamen ainsi que le schème explicatif des explications multiples sont interprétés comme des résultats positifs du refus par Épicure de toute géométrisation de la nature.

Summary. From the study of a short argument in Sextus Empiricus’ Against Geometers, we try to explain the Epicurean destruction of geometry from a semantic and epistemic point of view. Both clinamen and the explanatory device of multiple explanations are underlined as significant results of the Epicurean refusal of any geometrical understanding of nature.

Jean-Yves Guillaumin. La doctrine du nombre parfait dans une glose m édiévale sur Martianus Capella

Résumé. Si la doctrine arithmologique des nombres « parfaits », « abondants » et « déficients » est bien connue et souvent exposée depuis Nicomaque de Gérasa (IIe siècle apr. J.-C.), elle reçoit une illustration nouvelle, dans laquelle la mythologie cède le pas à l’éthique et à la théologie, dans une glose médiévale du texte de Martianus Capella (livre VII des Noces de Philologie et de Mercure), où le nombre parfait est mis en correspondance avec la justice éternelle.

Summary. Though widely known and frequently put forward since Nicomachus of Gerasa (2nd century AD), the arithmological doctrine of “perfect”, “abundant”, and “deficient” numbers is newly illustrated in a medieval gloss to Martianus Capella’s De Nuptiis Philologiae et Mercurii, Book VII, where mythology is replaced by ethics and theology, and the perfect number is compared to eternal justice.

Livio Rossetti. La structure du poème de Parménide

Résumé. La structure qui sous-tend la composition du poème de Parménide est très élaborée, il est aisé de s’en rendre compte. La déesse y parle des enseignements qu’elle s’apprête à délivrer et, dans les fragments 10 et 11, elle offre un panorama détaillé de tout un ensemble de questions qu’elle va traiter aussitôt après. Un certain nombre d’éléments métatextuels se trouvent de cette façon insérés dans le texte écrit au premier degré et en interrompent le cours. D’autres passages de texte à métatexte (et vice versa) se rencontrent d’ailleurs dans les fragments, mettant ainsi en évidence de frappantes discontinuités et des changements significatifs dans le type de saturation provoqué dans l’auditoire. Tout cela fait comprendre que les enseignements délivrés dans le poème sont immergés dans une infrastructure beaucoup plus « construite » et « étudiée », beaucoup plus consciente que celle qui apparaît dans tant d’autres textes de la même époque ou antérieurs. D’où l’importance d’une recherche spécifiquement consacrée à la composition du poème dans son ensemble.
La formule rassurante de B10.1, « tu apprendras », prend dans cette recherche une importance particulière, parce qu’elle démontre que Parménide lui-même a donné une valeur explicitement positive à ce qui, jusque peu auparavant, faisait l’objet de jugements fortement négatifs. Cette incohérence n’est donc pas une conjecture de notre part, mais quelque chose dont Parménide ne peut pas ne pas s’être rendu compte, ce qui signifie vraisemblablement que la seconde partie du poème expose des connaissances auxquelles il était parvenu dans une « phase précritique » de sa recherche. Sinon, à quelle autre explication pourrait-on penser ?

Summary. It is quite easy to perceive that Parmenides’ poem is governed by a complex compositional ‘architecture’. His goddess speaks of the teachings (plural) she is going to offer and, in frgs. 10-11, gives a detailed outline of the themes to be treated in the sequel. Thus some meta-texts happen to be entered into the first order text and break its continuity. However the fragments give evidence of further passages from text to meta-text (and vice versa), as well as of a clear discontinuity from section to section. They also show remarkable changes in the sort of saturation instilled into the audience. For all these reasons, the doctrines offered in the poem appear to be involved in a much more structured, more learned, more conscious frame than what emerges from contemporary or earlier writings. A research project especially devoted to the compositional structure of the poem as a whole was therefore worth being undertaken.

Within this investigation, a special attention is being paid to the reassuring “you’ll learn” of B10.1, since it shows that Parmenides himself came to value positively what had been previously charged with heavy negative evaluations. Therefore, this incongruence is not a conjecture but something Parmenides was necessarily aware of. This, in turn, is likely to mean that the second part of the poem contains the sort of knowledge he had attained during a ‘pre-critical stage’ of his research. Otherwise, which other explanation could be devised ?

Pieter d’Hoine. « Ceux qui acceptent des Idées de toutes choses ». Sur l’interprétation de Parménide 130b3-e4 dans l’Antiquité tardive

Résumé. Chez les commentateurs platoniciens de l’époque impériale, l’un des problèmes majeurs liés à la théorie des Idées concernait le domaine d’application de cette doctrine. L’exégèse de la première partie du Parménide de Platon donnait occasion à diverses discussions sur ce sujet. Le Commentaire de Proclus sur le Parménide est sans doute la plus précieuse source qui soit parvenue de l’Antiquité jusqu’à nous pour la reconstitution de ces débats. Alors que la grande majorité des commentateurs anciens étaient convaincus que les Idées ont un domaine assez restreint, le Commentaire de Proclus nous révèle l’existence d’une lecture alternative, selon laquelle il y a des Idées de « toutes choses ». Proclus relie cette interprétation alternative en particulier à l’existence des Idées de choses mauvaises et d’individus, probablement parce que ces deux classes d’objets étaient vraiment les dernières choses dont un platonicien orthodoxe voudrait admettre des Idées. Amélius est le seul néoplatonicien connu pour avoir soutenu l’existence des Idées de choses mauvaises. Dans cet article j’essaie de montrer que, selon toute vraisemblance, Amélius est également la cible de la réfutation des Idées d’individus par Proclus dans son Commentaire. La conclusion qui s’ensuit naturellement est qu’Amélius était très probablement l’un de ces philosophes qui, d’après Proclus, admettaient des Idées « de toutes choses ».

Summary. Among the Platonic commentators of the imperial age, one of the key problems connected to the theory of Forms concerned the range of application of this doctrine. The exegesis of the first part of Plato’s Parmenides provided the occasion for various discussions of this topic. Proclus’ Commentary on the Parmenides is no doubt the most precious source that has come down to us from Antiquity for the reconstruction of these debates. While the vast majority of ancient commentators seem to have agreed that there cannot be Forms of all things sensible, Proclus’ commentary teaches us that an alternative reading, according to which the theory of Forms is to be regarded all-extensive, has also been proposed. Proclus connects the doctrine that there are Forms ‘of all things’ especially with Forms of evils and individuals, presumably because these two classes of items were really the last things of which an orthodox Platonist would want to accept Forms. Amelius is the only Neoplatonist known to have defended the existence of Forms of evils. In this paper I try to show that, in all likelihood, Amelius is also the target of Proclus’ refutation of Forms of individuals in the Commentary. These considerations point to the conclusion that very likely Amelius was one of those philosophers who in Proclus’ view accepted Forms ‘of all things’.